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【教育】数学好きが口にする「数学の美しさ」とは?

1 ノチラ ★ 2017/06/09(金) 12:23:11.53 id:CAP_USER

「∞(むげん)プチプチ」などのヒット商品を生み出した高橋晋平氏は「TEDxTokyo」に登壇するなど、企画・アイデア発想の名手としても知られる。
「大人のための数学教室 和(なごみ)」を運営する和からの堀口智之社長との対談の後編。堀口氏が考える「数学の美しさ」とは? 堀口氏が数学関連のビジネスに力を入れる理由にも迫る。
中略

高橋: よく「数学は美しい」って言うじゃないですか。数学が好きな人たちって何をもって美しいと言っているのか、よく分からなくて。例えば中学校、高校ぐらいで学ぶような数学の内容にも美しさってあるんですか。

堀口: いい質問ですね。高校までの数学って、テクニックの集合体なんですよ。そもそも美しさを求めてないんです。だからわれわれが学んできた数学で「美しい」という言葉がぴんとこないというのは当然の話です。ただテクニックを学んでいるだけですから。

高橋: なるほど。

堀口: どういったことを「美しい」というのかは、数学的世界観を体感することで理解できるかもしれません。その世界観がちょっとのぞき見えるような数式を2つだけ説明しますね。3分の1って0.3333……ですよね。

高橋: はい。

堀口: じゃあ、これを3倍しますね、両辺。そうすると、左の辺の数字はいくつになりますか。

高橋: 1。

堀口: ですね。右の辺の数字も1ですよね、当然。1=1じゃないですか。

高橋: なりますね。

堀口: だけど、この右辺を3倍するわけですよね。小数点以下のこの一つひとつを3倍するわけだから、0.9999……が正解なんですよ。ということで、実は1というのは0.999……のことだったんですね。私は小学生くらいのときによく1に近い限りなく大きい数として0.999……とか言っていたんですけど、0.999がずっと続いちゃうと1になっちゃうんですよ。これが無限の恐ろしいところなんですね。0.999……が無限に続いちゃうと1になって、どこかで9が止まると1ではなくなるんです。

高橋: そうか。無限だからな、なるほど。

堀口: この数学的世界観が垣間見えてくると、数学に美しいという概念が生まれてくるわけですよ。なんだこれは、と。それから、これまで想像していなかった分野がつながることがあるんですよ、数学って。素数って分かりますよね。

高橋: 分かります。

堀口: 素数というのは1とそれ自身以外約数を持たない数のことを言うんです。2、3、5、7、11、13、17、19、23……と続いていくんですけど。この素数の個数が何個なのか。実は無限にあることは証明されているんですよ。無限個ありますと。

高橋: 無限個。

堀口: これ自体もちょっと面白いんですけど、素数の個数が無限個と言いましたが、どのくらいの割合なのか考えてみましょう。

高橋: 割合? ああ、この先、何個のうち何個出てくるかみたいな。

堀口: その通りです。例えば、1から20までの20個の自然数の中で、素数は2、3、5、7、11、13、17、19の8個ですので、20分の8は素数といえます。一方、101から120までの数字で考えると、素数は101、103、107、109、113の5つになり、20分の5が素数といえます。この素数の割合を求めるのに、log(ログ)という数式が出てくるんですね。ある数xの周辺で素数である確率はざっくりlog x分の1であることが分かっているんですよ。

高橋: log、あったな、logって。

堀口: 例えば、log 10=2.3なので、log10分の1は、1/2.3=0.43です。これは、20分の8(=0.4)に近い数字になっています。また、log 110=4.7なので、log 110分の1は1/4.7=0.21で、これは、20分の5(=0.25)に近い数字になっていますね。こういうふうにlogが使われるんですけど、素数とlogは一見何の関係もないんです。だけど今まで自分が学んでいた素数の個数という世界と、なぜか知らないけどlogというものが出てきて、何か高校のときに学んだなと。こういうものが何か知らないけどつながっているわけですよ。ここで初めて数学的世界観の恐ろしさが見えるわけですよ。こういうのが数学には山ほどあります。とんでもなくある。

高橋: 答えは分かっても、それを証明するためにどうするか。証明するところの奥深さというやつですよね。

堀口: そうですね。証明するところの奥深さもあります。そういうもののとりこになって人生を棒に振るという人がたくさんいます(笑)。ところで、素数の割合に関する問題で、リーマン予想という有名なものがあります。証明したら100万ドルもらえるくらいの難問なんです、実は。

高橋: 何かちょっと、だんだんときめいてきた(笑)。
http://trendy.nikkeibp.co.jp/atcl/column/15/1063592/051200014/

2 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 12:24:55.12 id:Gb6niGdw

数論に限ってはむしろ醜く解決するほうがすごい
何故なら美しいアプローチは既に出尽くしてるから

3 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 12:27:16.05 id:ync6uV1x

わりと面白くてびびった

懐かしいなぁ

4 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 12:28:59.95 id:zV5Ckcfp

リーマン予想「今日の社食Aランチはカレー」

5 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 12:29:30.87 id:mdORr8vC

オイラーの公式を初めて見たとき
この世にこんな美しい数式があるんだって
感動したものだけどな

7 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 12:31:43.29 id:GsB+CWMM

>>5
わかる

9 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 12:33:34.43 id:qwx9t0d9

>>5
そこまでたどり着いた人はすでに数学好きだと思うよ

6 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 12:31:27.01 id:iadWu1ng

オイドンの公式は、弱きを助けですたい

14 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 12:43:42.18 ID:PK+7fVd8

バーナード嬢にも出てた「フェルマーの最終定理」は実際おもしろい本だった
なんで教科書ってああいう風に書けないかね

17 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 12:52:04.99 id:mdORr8vC

>>14
教科書が面白い必要があるかどうか
いったん横において置いて
日本の教科書が薄っぺらいのは
授業で先生が解説することを前提に
書かれているものがほとんどという理由があると思います。

洋書は分厚いけど、その解説をこと細かく書いてあるので
独学でも学べる。
もちろんアカデミックな世界は
先生に弟子入りとかいろいろあるけど
とにかく本は丁寧に書かれている

23 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 13:03:09.28 id:UvbYMsLn

>>17
そうはいうけど、アメリカの高校までの数学なんて、日本の中学1年生程度の内容だろう・・
それに比べれば日本の数学の内容は厚い

まぁアメリカでは数学は「できる奴だけがやればいい」という考えだから、大学入って2ケ月~3ケ月そこらで
中学1年→日本の高校3年生までの内容を一気にやるから超激烈だ

16 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 12:51:36.64 id:rFSD4nyq

オイラーの公式もそうだけど
関係ないと思ってたもの同士が結びついたときに
誰かがあらかじめ設計してるんじゃないか?
誰かの手の中で踊らされてるんじゃないか?
みたいな感覚になりそう

18 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 12:53:00.22 id:UvbYMsLn

つか、オイラーの公式自体、高校では習わないだろw

複素数~ド・モアブルの定理~指数関数の指数を虚数にすると出てくるオイラーの公式なんてのは、
大学の数学過程なんだから、そもそも好きでなきゃ存在すら知るわけもない
(証明にはさらに関数の級数展開が必要で、これまた大学数学過程)
一般人の95%まで知るわけもない

あれだろ、「円周率がもし3.14..でなくて、6.28...なら、オイラーの公式
もっと美しい姿になってた」っていう奴だよな~

19 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 12:53:47.75 id:rFSD4nyq

教科書は具体的な計算方法がわかるように作られてるけど
現実世界とのつながりみたいなものが希薄だよね
まあ、そういうのをのんびりやってたら話が進まないってこともあるけど

20 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 12:56:56.39 id:mdORr8vC

>>19
現実世界との繋がりは数学というよりは物理になる

21 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 12:59:33.58 id:UvbYMsLn

ていうか、複素平面、行列は度々改定される高校数学の過程から
入ったり外されたりだもんな

行列は2011年以降の高校生も習わない筈

ていうか、今は確率論・統計学も習わないんだよな~

46 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 14:11:10.77 id:m2V/U/gZ

>>21
大学に入ってからが大変そう
行列とか統計とか確率とか工学部や経済学部でも多用するだろに
教育指導要領を最低限の指標にしてプラスαは各学校の自由裁量にすればいいのにね

27 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 13:11:31.77 id:bapiSbXQ

256とか1024とかをきれいな数字と思い出したらビョーキ

29 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 13:12:51.39 id:rFSD4nyq

>>27
きれいだろうが!
はっ!
おれビョーキか!

54 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 14:48:56.29 id:zOwfP2ei

>>27
分かる

以前、レジで
俺「おぉ!ちょうど4096円だ」
嫁「どこがちょうどなのよ」

ってことがあった

57 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 15:03:58.02 id:OBhOpwNU

>>54
ワロタ

36 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 13:29:02.50 id:UvbYMsLn

まぁ数学者は頭良い奴ほど狂うからな
フォン・ノイマンは、公式には核兵器実験で浴びた放射線による癌で53歳死去・・となってるけど
狂死したっていう話も聞いたことがある
ノイマンは8歳で微積分マスターしてたとかいうなw)

つか数学は先天的要素が全てで、生まれ持った知能指数次第なんじゃね
アメリカを揺るがしたモンティ・ホール問題(条件付き確率の問題。TVのバラエティで人気あった番組)も
ズバリと答え出したのは、当時もっとも知能指数が高い女性だったそうな

数多いる職業数学者が間違いな答え出して赤っ恥かいただけに、数学は知能指数で選別すべき

38 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 13:32:01.68 ID:B0/KTfiK

>>36
それは違うかなと
間違ったのは測度論的確率論に沿う研究者で、あれはベイズ確率論の問題
むしろ自分のディシプリンに忠実に間違えた形式主義者としての数学者を讃えるべきだよ

37 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 13:29:49.49 ID:B0/KTfiK

そういやフォンノイマンの知性は集合論ゲーム理論作用素環にかなり表れてるが
今は文庫や日本語版で読めるから読むといい
複雑な数式は殆どないのがわかる

彼によると、複雑な計算をこなすコツは代数を利用してパターンを知ること
そういう一般化を美しいというならそうかもしれない

41 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 13:58:33.24 id:tP7a6uAx

物理やってる人間が目指すものとは違うんだよな。
実用実学じゃなく趣味道楽だからノーベル賞が無いとも考える。

56 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 15:00:44.16 id:UvbYMsLn

>>41
ノーベル賞に数学賞が無い理由は
1.仮に作った場合、ノーベルの恋敵である数学者、ミッタク・レフラーがその賞を受賞してしまうことを危惧した
2.その恋敵に婚約者を奪われたため、生涯にわたって数学を恨み続けた
ということだわ

その結果、後年になってカナダの数学者によって数学最高峰の賞として
フィールズ賞が設けられた

67 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 15:21:32.58 ID:B0/KTfiK

>>41
「役に立たない」と「すぐには役に立たないが何らかの本質に関係している」では全然違う
天才はモチベーションとして最低でも後者がある
しかも、世間で言われるほど数学と応用の違いは大きくない。技術が進むほど距離は縮む

49 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 14:31:28.55 id:T8ftfSaC

素数は1と自分の数でしか割ることのできない孤独な数字・・・。
わたしに勇気を与えてくれる

50 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 14:36:11.92 ID:0cZwrXSB

>>49
素数は孤独どころか数の派閥のボスよ

2の倍数はすべて2の仲間
3の倍数はすべて3の仲間

51 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 14:37:08.59 id:hGtN6Nel

Kindleで復刊したから読んどけ

無限の果てに何があるか 現代数学への招待 (角川ソフィア文庫) | 足立 恒雄 | 趣味・実用 | Kindleストア | Amazon
https://www.amazon.co.jp/dp/B06W5J3PN5/

こっちも適当スキャンでいいから復刊してくれ

ゲーデルエッシャー、バッハ - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%B2%E3%BC%E3%87%E3%AB%E3%81%E3%A8%E3%83%E3%B7%E3%A3%E3%BC%E3%81%E3%90%E3%83%E3%8F

59 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 15:11:38.89 id:p3CIgpzL

高学歴「ちょうど750だな」
低学歴「どこがちょうどなんだ?」

みたいなやり取りはあったな。
1/4や3/4系の数に慣れていないようだ。

60 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 15:12:55.62 id:Y3sxVeFX

2進数の世界の人なのね

62 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 15:14:06.65 id:Y3sxVeFX

小学校のとき家庭教師に
どれくらいわかった?
ってきかれて

5/13くらい
っていったら

変な表現するな

っていわれた

72 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 15:31:23.92 ID:6niWe57P

例えば中学校の試験で、直角三角形を作図しろとか出題されて、作図してみて、
線が角を少しはみ出ただけで「これは三角形ではないのでは?」と気になってしまって消しゴムで消して書き直し、
今度は「これは本当にぴったり90度なのだろうか、89.99度になってはいないか?」と不安になってしまい、
「そもそも線にはシャープペンシルの太さの幅があって、これは本当に線なんだろうか?」と気になって、
答案が返ってくるまで「自分は正解をもらえないのではないだろうか?」と夜も眠れないような子。

こういう子には数学を美しいと感じられるようになる潜在的な素地がある。

78 名刺は切らしておりまして 2017/06/09(金) 15:57:55.05 id:FYz5InLN

面白い回答では「おぉー」って思うこともあるけど、
同時に、自分ではそこに至らないから、無力感もある…